Question

4．在△ABC中，求證acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$=$\frac{1}{2}（a+b+c）$．

Answer 1

分析 由倍角公式化簡(jiǎn)已知等式左邊后，由余弦定理化角為邊，整理即可證明．

解答 解：等式左邊=acos²$\frac{C}{2}$+ccos²$\frac{A}{2}$
=a×$\frac{1+cosC}{2}$+c×$\frac{1+cosA}{2}$
=$\frac{a+acosC+c+ccosA}{2}$，
=$\frac{a+a×\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}+c+c×\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}}{2}$
=$\frac{a+c+\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}+^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2b}}{2}$
=$\frac{a+c+\frac{2^{2}}{2b}}{2}$
=$\frac{1}{2}$（a+b+c）=右邊．得證．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了倍角公式，余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．