Question

已知函數(shù)f(x)=(

1

9

)x-2a(

1

3

)x+3，x∈[-1，1]
（Ⅰ）若f（x）的最小值記為h（a），求h（a）的解析式．
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)m，n同時(shí)滿足以下條件：①m＞n＞3；②當(dāng)h（a）的定義域?yàn)閇n，m]時(shí)值域?yàn)閇n²，m²]；若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè) (

1

3

)x=t，∵x∈[-1，1]，∴t∈[

1

3

，3]------------------------（1分）
則原函數(shù)可化為φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2，t∈[

1

3

，3]------------（2分）
討論 ①當(dāng)a＜

1

3

時(shí)，h(a)=φ(t)min=φ(

1

3

)=

28

9

-

2a

3

-------------（3分）
②當(dāng)

1

3

≤a≤3時(shí)，h（a）=φ（t）_min=φ（a）=3-a²-------------（4分）
③當(dāng)a＞3時(shí)，h（a）=φ（t）_min=φ（3）=12-6a--------------（5分）
∴h(a)=

28 9 - 2a 3 (a＜ 1 3 )    3-a2  ( 1 3 ≤a≤3) 12-6a(a＞3)

--------------（6分）

（Ⅱ） 因?yàn)閔（a）=12-6a在（3，+∞）上為減函數(shù)，而m＞n＞3
∴h（a）在[n，m]上的值域?yàn)閇h（m），h（n）]-------------------------------（7分）
∵h(yuǎn)（a）在[n，m]上的值域?yàn)閇n²，m²]，
∴

h(m)=n2 h(n)=m2

即：

12-6m=n2 12-6n=m2

-----（9分）
兩式相減得：6（m-n）=（m-n）（m+n）---------------------------------（10分）
又m＞n＞3∴m+n=6，而m＞n＞3時(shí)有m+n＞6，矛盾．-----------（11分）
故滿足條件的實(shí)數(shù)m，n不存在．-------------------（12分）