Question

【題目】已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且其焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)都在圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線交橢圓于，兩點(diǎn)，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）2

【解析】

（1）由題意設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由于橢圓焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)都在圓:上，可得到，的值，即可求出橢圓方程。

（2）分類討論切線方程斜率存在與不存在的情況，當(dāng)斜率不存在時(shí)，可直接確定的值，再討論斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出，再結(jié)合直線與圓相切性質(zhì)消去一個(gè)參數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍，最后得到的最大值。

（1）由橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，

橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，上頂點(diǎn)坐標(biāo)為

橢圓焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)都在圓:上，

，，解得：，，

，即，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為：，與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為 或，則，

當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為：，切線與橢圓交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，

聯(lián)立方程 ，得：，

由于切線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則 ，

由韋達(dá)定理可得: ，

又直線與圓相切，

，即，

令 ，則函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)，

，

綜上所述，