Question

19．已知f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²-2x．
（1）若y=f（x）-g（x）在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，1）上單調(diào)遞減，求a的范圍．
（2）若函數(shù)y=f（x）-g（x）在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，1）上存在遞減區(qū)間，求a的范圍．
（3）若y=f（x）-g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{3}$），求a的范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡y=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+2x，求導(dǎo)y′=$\frac{1}{x}$-ax+2=$\frac{-a{x}^{2}+2x+1}{x}$，從而化為-ax²+2x+1≤0在（$\frac{1}{3}$，1）上恒成立，從而化為最值問題；
（2）結(jié)合（1）可知只需使a＞$（\frac{1}{x}）^{2}$+2$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{3}$，1）上解，從而化為最值問題；
（3）由題意得$\frac{1}{3}$是方程-ax²+2x+1=0的解，從而解得a=15，再驗證即可．

解答 解：（1）y=f（x）-g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+2x，
y′=$\frac{1}{x}$-ax+2=$\frac{-a{x}^{2}+2x+1}{x}$，
即-ax²+2x+1≤0在（$\frac{1}{3}$，1）上恒成立，
故a≥$（\frac{1}{x}）^{2}$+2×$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{3}$，1）上恒成立，
∵$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴3＜$（\frac{1}{x}）^{2}$+2$\frac{1}{x}$＜15，
∴a≥15；
（2）由（1）知，a＞$（\frac{1}{x}）^{2}$+2$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{3}$，1）上解，
結(jié)合（1）知，a＞3；
（3）∵y=f（x）-g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{3}$），
∴$\frac{1}{3}$是方程-ax²+2x+1=0的解，
解得，a=15，
當(dāng)a=15時，y=f（x）-g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{3}$）成立，
故a=15．

點評 本題考查了解導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題與存在性問題的處理方法．