Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓C經(jīng)過，，（）三點(diǎn)，M是線段上的動點(diǎn)，，是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，其中交y軸于點(diǎn)E，交圓C于P、Q兩點(diǎn).

（1）若，求直線的方程；

（2）若是使恒成立的最小正整數(shù)

①求的值； ②求三角形的面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②.

【解析】

（1）求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)直線的方程，利用，結(jié)合圓心到直線的距離分析可得，解可得的值，驗(yàn)證直線與軸有無交點(diǎn)，即可得答案；

（2）①設(shè)，由點(diǎn)在線段上，得，由，得，結(jié)合題意，線段與圓至多有一個公共點(diǎn)，分析可得，分析可得的值，

②由①的結(jié)論，分直線的斜率存在與不存在2種情況討論，用表示三角形的面積，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．

解：（1）由題意可知，圓C的直徑為，

所以圓C方程為：，設(shè)方程為：，則，

解得，，當(dāng)時，直線與y軸無交點(diǎn)，不合題意，舍去.

所以，時直線的方程為.

（2）①設(shè)，由點(diǎn)在線段上，則有，即．

由，則有

依題意知，線段與圓至多有一個公共點(diǎn)，

故，解可得或，

因?yàn)?/span>是使恒成立的最小正整數(shù)，所以；

②由①的結(jié)論，圓的方程為．

分2種情況討論：

當(dāng)直線時，直線的方程為，此時，；

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，，

則的方程為，

點(diǎn)，所以，

又圓心到的距離為，

所以，

故，

又由，

故求三角形的面積的最小值為．