Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，AC=BC=2，∠ACB=90°，側(cè)棱AA₁=2，D是CC₁的中點(diǎn)．
（1）求二面角D-AB-C的平面角的正切值；
（2）求A₁B與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面所成的角

專題：計算題,空間角

分析：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)E，連接DE，CE，證明∠DEC即為二面角D-AB-C的平面角，即可求二面角D-AB-C的平面角的正切值；
（2）連接BC₁，證明∠A₁BC₁即為A₁B與平面BB₁C₁C所成角，即可求A₁B與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)E，連接DE，CE
因?yàn)橹崩庵�，CC₁⊥面ABC，所以CC₁⊥AB，
又因?yàn)椤鰽BC為等腰直角三角形，
所以CE⊥AB，所以AB⊥面DEC，即AB⊥DE，
所以∠DEC即為二面角D-AB-C的平面角
因?yàn)镃D=1，CE=

2

，則tan∠DEC=

DC

CE

=

1

2

=

2

2

（II）連接BC₁．
因?yàn)橹崩庵�，所以CC₁⊥AC，且AC∥A₁C₁，所以CC₁⊥A₁C₁．
而由于AC⊥BC，所以A₁C₁⊥B₁C₁，
所以A₁C₁⊥面BB₁C₁C，
所以∠A₁BC₁即為A₁B與平面BB₁C₁C所成角．
因?yàn)锳₁C₁=2，BC₁=2

2

，所以sin∠A₁BC₁=

3

3

．

點(diǎn)評：本題考查空間角的計算，考查學(xué)生的計算能力，正確作出空間角是關(guān)鍵．