Question

某校高一年級(jí)共有800名學(xué)生，其中男生480名，女生320名，在某次滿分為100分的數(shù)學(xué)考試中，所有學(xué)生成績(jī)?cè)?0分及30分以上，成績(jī)?cè)凇?0分及80分以上”的學(xué)生視為優(yōu)秀．現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法共抽取100名學(xué)生，將他們的成績(jī)按[30，40]、[40，50]、[50，60]、[60，70]、[70，80]、[80，90]、[90，100]分成七組．得到的頻率分布直方圖如圖所示：
（1）請(qǐng)將下列2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，計(jì)算并說(shuō)明是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)”？

	數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀	數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀	合計(jì)
男生	12
女生
合計(jì)			100

（2）在第1組、第7組中共抽處學(xué)生3人調(diào)查影響數(shù)學(xué)成績(jī)的原因，記抽到“成績(jī)優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列及期望．
附：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05
K0	2.072	2.706	3.841

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖,獨(dú)立性檢驗(yàn)

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由已知得應(yīng)抽取男生60人，女生40人，從而能作出2×2列聯(lián)表，求出k²=0.407＜3.841，計(jì)算結(jié)果表明，沒(méi)有95%把握認(rèn)為“該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)”．
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及期望．

解答： 解：（Ⅰ）應(yīng)抽取男生60人，女生40人，
2×2列聯(lián)表如下：

	數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀	數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀	合計(jì)
男生	12	48	60
女生	6	34	40
合計(jì)	18	82	100

k²=

100(12×34-6×48)2

18×82×40×60

=0.407＜3.841，
計(jì)算結(jié)果表明，沒(méi)有95%把握認(rèn)為“該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)”．
（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=C

C 3 4

C 3 10

=

4

120

，
P（X=1）=

C 2 4 C 1 6

C 3 10

=

36

120

，
P（X=2）=

C 1 4 C 2 6

C 3 10

=

60

120

，
P（X=3）=

C 3 6

C 3 10

=

20

120

，
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	4 120	36 120	60 120	20 120

E（X）=0×

4

120

+1×

36

120

+2×

60

120

+3×

20

120

=

9

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查2×2列聯(lián)表的作法，計(jì)算并說(shuō)明是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與性別有關(guān)”，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要注意排列組合的合理運(yùn)用．