Question

（1）已知直線l與直線l₁：x-y+1=0平行，點A（2，4）與點A₁（m，-2）關于直線l對稱．求直線l的方程；
（2）若直線l過點P（1，-2）且與x的正半軸及y的負半軸于A、B兩點，求當|PA|•|PB|最小時l的方程．

Answer 1

考點：與直線關于點、直線對稱的直線方程,函數的最值及其幾何意義

專題：直線與圓

分析：（1）設直線l的方程為x-y+t=0，依題意，可得

m=4-t -2=2+t

，從而可得t=-4，直線l的方程可求得；
（2）設直線l的方程為 （y+2）=k（x-1）（k＞0），分別求得A（1+

2

k

，0），B（0，-k-2）；利用兩點間的距離公式及基本不等式即可求得k的值，從而可得直線l的方程．

解答： 解：（1）設直線l的方程為x-y+t=0，
則x=y-t，y=x+t，
∵點A（2，4）與點A₁（m，-2）關于直線l對稱，直線l的斜率為特殊值1，
∴

m=4-t -2=2+t

，解得t=-4，
∴直線l的方程為x-y-4=0（也可以利用AA₁的中點在直線l上，AA₁的斜率為-1，聯(lián)立解決）；
（2）設直線l的方程為 （y+2）=k（x-1）（k＞0），
令y=0，則x=1+

2

k

，則A點的坐標為A（1+

2

k

，0）；
令x=0，則y=-k-2，則B點的坐標為B（0，-k-2）；又P（1，-2），
根據兩點距離公式有
|PA|•|PB|=

4 k2 +(-2-0)2

•

(1-0)2+(-2+k+2)2

=

4 k2 +4

•

k2+1

=2

1+ 1 k2 +k2+1

≥2×2=4，當且僅當

1

k2

=k²，即k=1時取“=”．
此時，直線l的方程為y+2=x-1，即x-y-3=0．

點評：本題考查與直線關于點、直線對稱的直線方程，考查兩點間的距離公式及基本不等式的應用，屬于中檔題．