Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=2，a₂=8，S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），T_n是數(shù)列{log₂a_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求T_n；
（3）求滿足（1-

1

T2

）（1-

1

T3

）…（1-

1

Tn

）＞

2013

2014

的最大正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得S_n+1-S_n=4（S_n-S_n-1），從而a_n+1=4a_n，由此推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列．從而an=2•4n-1=2^2n-1．
（2）由log₂a_n=log222n-1=2n-1，能求出數(shù)列{log₂a_n}的前n項(xiàng)和．
（3）（1-

1

T2

）（1-

1

T3

）…（1-

1

Tn

）=

n+1

2n

，令

n+1

2n

＞

2013

2014

，能求出滿足條件的最大正整數(shù)n的值為1．

解答： 解：（1）∵當(dāng)n≥2時(shí)，S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），
∴S_n+1-S_n=4（S_n-S_n-1），
∴a_n+1=4a_n，∵a₁=2，a₂=8，
∴a₂=4a₁，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項(xiàng)，公比為4的等比數(shù)列．
∴an=2•4n-1=2^2n-1．
（2）由（1）得：log₂a_n=log222n-1=2n-1，
∴T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n
=1+3+…+（2n-1）
=

n(1+2n-1)

2

=n²．
（3）（1-

1

T2

）（1-

1

T3

）…（1-

1

Tn

）
=（1-

1

22

）（1-

1

32

）…（1-

1

n2

）
=

22-1

22

×

32-1

32

×

42-1

42

×…×

n2-1

n2

=

1×3×2×4×3×5×…×(n-1)(n+1)

22×32×42×…×n2

=

n+1

2n

，
令

n+1

2n

＞

2013

2014

，解得：n＜

1007

1006

故滿足條件的最大正整數(shù)n的值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查最大的正整數(shù)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．