Question

1．在如圖所示的直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD=60°，AA₁=4．

（1）求直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積；
（2）求異面直線AD₁與BA₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)體積公式得出：菱形ABCD的面積×h即可，關(guān)鍵求面積，高．
（2）根據(jù)性質(zhì)得出：∠A₁BC₁等于異面直線AD₁與BA₁所成角．在△A₁BC₁中，由余弦定理可求解．

解答 解：（1）因菱形ABCD的面積為AB²•sin60°=$2\sqrt{3}$
故直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為：

S_底面ABCD•AA₁=$2\sqrt{3}×4=8\sqrt{3}$     
（2）連接BC₁，A₁C₁，易知BC₁∥AD₁，
故∠A₁BC₁等于異面直線AD₁與BA₁所成角．
由已知，可得A₁B=BC₁=$2\sqrt{5}$，A₁C₁=$2\sqrt{3}$                     
則在△A₁BC₁中，由余弦定理，得cos∠A₁BC₁=$\frac{{A}_{1}{B}^{2}+B{C}_{1}^{2}-{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}}{2{A}_{1}B•B{C}_{1}}$=$\frac{7}{10}$   
故異面直線AD₁與BA所成角的大小為arcos$\frac{7}{10}$

點評 本題考查了空間幾何體的性質(zhì)，運用求解體積，空間想象能力，思維能力的運用，屬于中檔題．