Question

5．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=4cosθ．
（Ⅰ） 求圓C的直角坐標(biāo)方程；并判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．
（Ⅱ） 設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1），求|PA|+|PB|

Answer 1

分析 （1））直線l的參數(shù)方程化為普通方程，得：x+y-3=0，把圓C的方程為ρ=4cosθ化為普通方程，得：x²+y²=4x，求出圓心到直線距離，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）利用P（2，1）在弦AB上，根據(jù)直線的參數(shù)方程是幾何意義可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
化為普通方程，得：x+y-3=0…..3分
把圓C的方程為ρ=4cosθ化為普通方程，得：x²+y²=4x…..6分
即（x-2）²+y²=4
點(diǎn)C到l的距離d=$\frac{|2+0-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜2，
∴直線l與圓C相交．
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，將$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
帶入（x-2）²+y²=4整理得：${t}^{2}+\sqrt{2}t-3=0$，
則$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=-\sqrt{2}}\\{{t}_{1}{t}_{2}=-3}\end{array}\right.$
又|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)方程的方法、直線與圓相交問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題