Question

已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，一個(gè)焦點(diǎn)為（-

3

，0），一條漸近線為y=

2

x．
（1）求雙曲線的方程
（2）過(guò)點(diǎn)P（1，1）能否作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且P線段AB的中點(diǎn)，若能，求出直線l的方程，若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為y=

2

x，則可設(shè)雙曲線的方程為x2-

y2

2

=λ，然后根據(jù)c=

3

，求出λ的值即可；
（2）先假設(shè)存在這樣的直線l，分斜率存在和斜率不存在兩張千克設(shè)出直線l的方程，當(dāng)k存在時(shí)，結(jié)合雙曲線的方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則根據(jù)△＞0及其P是線段AB的中點(diǎn)，找出矛盾，然后判斷當(dāng)k不存在時(shí)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P但不滿足條件，綜上，符合條件的直線l不存在．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，雙曲線的一條漸近線方程為y=

2

x，
則可設(shè)雙曲線的方程為為x2-

y2

2

=λ，λ＞0，
又因?yàn)殡p曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為（-

3

，0），c=

3

，
則雙曲線的方程可變形為

x2

λ

-

y2

2λ

=1，
又由c=

3

，則3λ=3，解得λ=1；
則此雙曲線的方程是：x2-

y2

2

=1．
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1或x=1
①當(dāng)k存在時(shí)，有y=k（x-1）+1，x2-

y2

2

=1，
可得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0    
當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，可得
△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜

3

2

，
又方程（1）的兩個(gè)不同的根是兩交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)
∴x₁+x₂=

2(k-k2)

2-k2

，
又∵P（1，1）是線段AB的中點(diǎn)，
∴

x1+x2

2

=1，即

k-k2

2-k2

=1，解得k=2．
∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此當(dāng)k=2時(shí)，方程（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0 無(wú)實(shí)數(shù)解
故過(guò)點(diǎn)P（1，1）與雙曲線交于兩點(diǎn)A、B且P為線段AB中點(diǎn)的直線不存在．
②當(dāng)x=1時(shí)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P但不滿足條件，
綜上所述，符合條件的直線l不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查雙曲線的性質(zhì)的運(yùn)用，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．