Question

設(shè)點(diǎn)P到兩點(diǎn)（0，-

3

）（0，

3

）的距離之和為4．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程C
（2）設(shè)直線y=kx+1與C交與A，B兩點(diǎn)，問K為何值時(shí)，

.

OA

•

.

OB

=0．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題中條件：“點(diǎn)P到兩點(diǎn)（0，-

3

）（0，

3

）的距離之和等于4，”結(jié)合橢圓的定義知其軌跡式樣，從而求得其方程．
（2）先將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去y得到一個(gè)一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合向量垂直的條件列關(guān)于k方程式即可求得參數(shù)k值．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y），由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以（0，-

3

）、（0，

3

）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸為2的橢圓，它的短半軸b=

22-( 3 )2

=1，
點(diǎn)P的軌跡方程C為x2+

y2

4

=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足

x2+ y2 4 =1 y=kx+1

，消去y并整理得：
（k²+4）x²+2kx-3=0①，故x1+x2=-

2k

k2+4

，x1x2=-

3

k2+4

，

.

OA

•

.

OB

=0等價(jià)x₁x₂+y₁y₂=0．
∵y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=-

3(1+k2)

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=0，
化簡(jiǎn)得-4k²+1=0，所以k=±

1

2

．經(jīng)驗(yàn)證滿足①中△＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求曲線的軌跡方程、直線與圓錐曲線的綜合問題及方程思想，定義法：若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可用定義直接探求．