Question

已知函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[0，

π

2

]．求f（x）的最大值和最小值，并指明何時(shí)取到最值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）+1，令2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

解x可得單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由x∈[0，

π

2

]，可得2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，可得三角函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）化簡(jiǎn)可得f（x）=2sinx（sinx+cosx）
=2sin²x+2sixcosx=1-cos2x+sin2x
=

2

sin（2x-

π

4

）+1
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

解得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈Z） 
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
∴當(dāng)2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0時(shí)，函數(shù)取最小值0，
當(dāng)2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

時(shí)，函數(shù)取最大值

2

+1，

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的單調(diào)性和最值，屬基礎(chǔ)題．