Question

18．（1）已知f（x-$\frac{1}{x}$）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$，求f（3）的值：
（2）已知f（x）是二次函數(shù)，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用湊配法求出f（x），即可求出f（3）；
（2）由于f（0）=0，可設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）．利用f（x+1）-f（x）=x+1，可得a（x+1）²+b（x+1）-[ax²+bx]=x+1，化為（2a-1）x+a+b-1=0．此式對于任意實(shí)數(shù)x恒成立，因此2a-1=0且a+b-1=0，解出即可．

解答 解：（1）f（x-$\frac{1}{x}$）=x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x-$\frac{1}{x}$）²+2，∴f（x）=x²+2，
∴f（3）=11；
（2）∵f（0）=0，∴可設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）．
∵f（x+1）-f（x）=x+1，∴a（x+1）²+b（x+1）-[ax²+bx]=x+1，
化為（2a-1）x+a+b-1=0．
此式對于任意實(shí)數(shù)x恒成立，因此2a-1=0且a+b-1=0，解得a=b=$\frac{1}{2}$．
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的解析式，考查待定系數(shù)法、湊配法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．