Question

8．已知函數(shù)f（x）=e^x-e^-x-2x，x∈R，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）設(shè)f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)g（x）=f′（2x）-2af′（x）+2a²-4a-4，x∈R存在兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)t＞1，求證：函數(shù)h（x）=f（e^x）+f（-x-t），x＞0有唯一零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求出函數(shù)g（x）的表達(dá)式，利用換元法轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)，利用根的分布建立不等式關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求出函數(shù)h（x）的表達(dá)式，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-e^-x-2x，
∴f（-x）=e^-x-e^x+2x=-（e^x-e^-x-2x）=-f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）f′（x）=e^x+e^-x-2，則f′（2x）=e^2x+e^-2x-2，
則函數(shù)g（x）=f′（2x）-2af′（x）+2a²-4a-4=e^2x+e^-2x-2-2a（e^x+e^-x-2）+2a²-4a-4
=（e^x+e^-x）²-4-2a（e^x+e^-x）+4a+2a²-4a-4
=（e^x+e^-x）²-2a（e^x+e^-x）+2a²-8，
設(shè)t=e^x+e^-x，則t=e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{-x}•{e}^{x}}$=2，
則函數(shù)等價(jià)為h（t）=t²-2at+2a²-8存在兩個(gè)大于2的零點(diǎn)，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{△=4{a}^{2}-4（2{a}^{2}-8）=-4（{a}^{2}-8）≥0}\\{h（2）=4-4a+2{a}^{2}-8≥0}\\{-\frac{-2a}{2}=a≥2}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}≤8}\\{{a}^{2}-2a-2≥0}\\{a≥2}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{2}≤a≤2\sqrt{2}}\\{a≥1+\sqrt{3}或a≤1-\sqrt{3}}\\{a≥2}\end{array}\right.$，即1+$\sqrt{3}$≤a≤2$\sqrt{2}$．
（3）∵f′（x）=e^x+e^-x-2≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$-2=2-2=0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）為增函數(shù)，
∴由h（x）=f（e^x）+f（-x-t）=0，得f（e^x）=-f（-x-t）=f（x+t），
即e^x=x+t，
即t=e^x-x，
設(shè)m（x）=e^x-x，則m′（x）=e^x-1，當(dāng)x＞0時(shí)m′（x）=e^x-1＞1-1=0，
即函數(shù)m（x）=e^x-x則[0，+∞）上為增函數(shù)，
則m（x）＞m（0）=e⁰-0=1，
∴當(dāng)t＞1，方程t=e^x-x有唯一一個(gè)根，即函數(shù)h（x）=f（e^x）+f（-x-t），x＞0有唯一零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)奇偶性的判斷，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．