Question

6．函數(shù)f（x）=-x²-4x-4，x∈[a，a+1]（a∈R），則f（x）的最大值為$\left\{\begin{array}{l}-{a}^{2}-6a-9，a≤-3\\ 0，-3＜a＜-2\\-{a}^{2}-4a-4，a≥-2\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 配方可得f（x）=-（x+2）²，確定對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分類(lèi)討論，即可求得f（x）的最大值的函數(shù)表達(dá)式；

解答 解：∵函數(shù)f（x）=-x²-4x-4=-（x+2）²的圖象是開(kāi)口朝下，且以直線x=-2為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線，
當(dāng)a≥-2時(shí)，函數(shù)f（x）在[a，a+1]上為減函數(shù)，當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為：-a²-4a-4，
當(dāng)a＜-2＜a+1，即-3＜a＜-2時(shí)，函數(shù)f（x）在[a，-2]上為增函數(shù)，在[-2，a+1]上為減函數(shù)，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為：0，
當(dāng)a+1≤-2，即a≤-3時(shí)，函數(shù)f（x）在[a，a+1]上為增函數(shù)，當(dāng)x=a+1時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為：-（a+1）²-4（a+1）-4=-a²-6a-9，
綜上f（x）的最大值為：$\left\{\begin{array}{l}-{a}^{2}-6a-9，a≤-3\\ 0，-3＜a＜-2\\-{a}^{2}-4a-4，a≥-2\end{array}\right.$，
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}-{a}^{2}-6a-9，a≤-3\\ 0，-3＜a＜-2\\-{a}^{2}-4a-4，a≥-2\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，解題的關(guān)鍵是正確配方，合理討論，屬于中檔題