Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）+f（1-x）≤2；
（Ⅱ）若a＜0，求證：f（ax）-af（x）≥f（a）．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）依題意，f（x-1）+f（1-x）≤2?|x-2|+|x|≤2，通過對x范圍的討論，去掉式中的絕對值符號，解得每個不等式的解，最后取其并集即可；
（Ⅱ）f（ax）-af（x）=|ax-1|-a|x-1|，a＜0時，|利用絕對值不等式|ax-1|-a|x-1|=|ax-1|+|-ax+a|≥|ax-1-ax+a|=|a-1|=f（a）即可證得結(jié)論．

解答： 選修4-5：不等式選講
（Ⅰ）∵f（x-1）+f（1-x）=|x-2|+|x|．
因此只須解不等式|x-2|+|x|≤2．
當x≤0時，原不式等價于2-x-x≤2，即x=0．
當0＜x＜2時，原不式等價于2≤2，即0＜x＜2．
當x≥2時，原不式等價于x-2+x≤2，即x=2．
綜上，原不等式的解集為{x|0≤x≤2}．…（5分）
（Ⅱ）∵f（ax）-af（x）=|ax-1|-a|x-1|，
又a＜0時，|ax-1|-a|x-1|=|ax-1|+|-ax+a|≥|ax-1-ax+a|=|a-1|=f（a），
∴a＜0時，f（ax）-af（x）≥f（a）．…（10分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查等價轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的綜合應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題．