Question

【題目】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，且，公比大于1的等比數(shù)列滿足， .

（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）在（2）的條件下，若對(duì)一切正整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）由與的關(guān)系，可求出，利用等差數(shù)列定義即可證明；（2）根據(jù)通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列相乘的特點(diǎn)，用錯(cuò)位相減法求和；（3）可證明數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，故可轉(zhuǎn)化為恒成立，利用二次不等式恒成立的方法即可求解.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ， ，

，所以， .

因?yàn)楫?dāng)時(shí)， 是公差的等差數(shù)列，

， ，

則是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

（2）由題意得， ；

則前項(xiàng)和 ；

；

相減可得

；

化簡(jiǎn)可得前項(xiàng)和；

（3）對(duì)一切正整數(shù)恒成立，

由 ，

可得數(shù)列單調(diào)遞減，即有最大值為，

則，解得或.

即實(shí)數(shù)的取值范圍為.