Question

【題目】 已知函數(shù)（a為常數(shù)）.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為和．（2）

【解析】試題分析：（1）先確定函數(shù)定義域，再求導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求定義區(qū)間上導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，最后列表分析導(dǎo)函數(shù)符號并確定單調(diào)區(qū)間：增區(qū)間為，，減區(qū)間為和．（2）不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題： ，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，確定當(dāng)時(shí)有最大值為，即得實(shí)數(shù)的取值范圍.

試題解析：解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)， ，

，

由得， ，

由得， 或，

∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，

單調(diào)減區(qū)間為和．

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， 恒成立，

令，

問題轉(zhuǎn)換為時(shí)， ．

，

①當(dāng)時(shí)， ，

在上單調(diào)遞增，

此時(shí)無最大值，故不合題意．

②當(dāng)時(shí)，令解得， ，

此時(shí)在上單調(diào)遞增，

此時(shí)無最大值，故不合題意．

③當(dāng)時(shí)，令解得， ，

當(dāng)時(shí)， ，

而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

，

令， ，

則，

在上單調(diào)遞增，

又，

當(dāng)時(shí)， ，

在上小于或等于不恒成立，即不恒成立，

故不合題意．

當(dāng)時(shí)， ，

而此時(shí)在上單調(diào)遞減，

，符合題意．

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（也可用洛必達(dá)法則）