Question

19．數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則使log₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a_n＞100成立的最小自然數(shù)n=14．

Answer 1

分析 求出數(shù)列{a_n}的通項公式，把不等式化為$\frac{n（n+1）}{2}$＞100，求出不等式的解集即得結(jié)果．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ，n∈N^*，
∴l(xiāng)og₂a₁+log₂a₂+log₂a₃+…+log₂a_n=log₂（a₁•a₂•a₃…a_n）
=log₂（2×2²×2³×…×2ⁿ）
=log₂（2^1+2+3+…+n）
=$\frac{n（n+1）}{2}$；
令$\frac{n（n+1）}{2}$＞100，
即n²+n-200＞0，
解得n＜$\frac{-1-\sqrt{801}}{2}$或n＞$\frac{-1+\sqrt{801}}{2}$；
∴使不等式成立的最小自然數(shù)n=14．
故答案為：14．

點評 本題考查了不等式的解法與應用問題，也考查了等比數(shù)列的通項公式的應用問題，是綜合性題目．