Question

18．A_n（n∈N）系列的紙張規(guī)格如圖，其特點是
①A₀，A₁，A2，…A_n所有規(guī)格的紙張的長寬比都相同；
②A0對裁后可以得到兩張A₁，A₁對裁后可以得到兩張A₂，…，A_n-1對裁后可以得到兩張A_n；
若梅平方厘米重量為b克的A₀，A₁，A₂，…A_n紙張各一張，其中A₄紙較短邊的長為a厘米，記這（n+1）紙張的重量之和為S_n+1，則下列論斷錯誤的是（　�。�

• A． 存在n∈N，使得S_n+1=32$\sqrt{2}$a²b
• B． 存在n∈N，使得S_n+1=16$\sqrt{2}$a²b
• C． 對于任意n∈N，使得S_n+1≤32$\sqrt{2}$a²b
• D． 對于任意n∈N，使得S_n+1≥16$\sqrt{2}$a²b

Answer 1

分析 由題意可得面積是逐漸變?yōu)樯弦粋�的一半，由相似可得x：y=$\sqrt{2}$：1，求出面積即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意可得面積是逐漸變?yōu)樯弦粋�的一半，設(shè)A_n的長、寬分別為x，y，則A_n+1的長、寬分別為y，$\frac{1}{2}$x，由相似可得x：y=$\sqrt{2}$：1，
故A₄的面積為$\sqrt{2}{a}^{2}$，A₁的面積為8$\sqrt{2}{a}^{2}$，A₀的面積為16$\sqrt{2}{a}^{2}$，
所以S_n+1=$\frac{8\sqrt{2}{a}^{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$•b+16$\sqrt{2}{a}^{2}$b=16$\sqrt{2}{a}^{2}$b（2-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
所以16$\sqrt{2}{a}^{2}$b≤S_n+1＜32$\sqrt{2}{a}^{2}$b，
故選：B．

點評 本題考查等比數(shù)列的求和，歸納推理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．