Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．
（1）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（2）當(dāng)PD=

2

AB=2，且VA-PED=

1

3

時，確定點E的位置，即求出

PE

EB

的值．
（3）在（2）的條件下若F是PD的靠近P的一個三等分點，求二面角A-EF-D的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）證明AC⊥平面PDB，即可證明平面AEC⊥平面PDB；
（2）利用VA-PED=

1

3

，求出△PED的面積，再求出PE，EB，即可求出

PE

EB

的值．
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，求出面EFD的法向量、面AEF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A-EF-D的余弦值．

解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形ABCD，∴AC⊥DB．

PD⊥面ABCD AC?面ABCD ⇒PD⊥AC

，
∵PD∩PB=P，

∴AC⊥面PDB ∵AC?面AEC ∴面AEC⊥面PDB

（2）解：設(shè)AC交BD=O，則

AO⊥BD AO⊥PD

⇒AO⊥面PDE，
∵AO=1，

VA-PED= 1 3 •AO•S△PDE= 1 3 ∴S△PDE=1

在直角三角形ADB中，DB=PD=2，則PB=

2

，
∴Rt△PDB中斜邊PB的高h=

2

．

∴ 1 2 •h•PE=1 ∴PE= 2 ∴ PE EB = 2 2 =1

即E為PB的中點．
（3）解：連接OE，以O(shè)為坐標(biāo)原點，OC為x軸，OB為y軸，OE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（1，0，0）E（0，0，1）F（0，-1，

4

3

）   D（0，-1，0）
面EFD的法向量為

OA

=(1，0，0)
設(shè)

m

=(x，y，z)為面AEF的法向量．
∴

m • AE =0 m • EF =0

⇒

(x，y，z)•(-1，0，1)=0 (x，y，z)•(0，-1， 1 3 )=0

⇒

x=z 3y=z

令y=1，則

m

=(3，1，3)，
∴cosθ=

OA • m

| OA |•| m |

=

3

19

=

3 19

19

∴二面角A-EF-D的余弦值為

3 19

19

．

點評：本題考查面面垂直，考查三棱錐體積的計算，考查面面角，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．