【題目】函數(shù)，其中常數(shù).

（1）求的最小值；

（2）若，討論的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【答案】（1）-1（2）見解析

【解析】

(1) 導(dǎo)數(shù)為，研究單調(diào)性即可得到的最小值；

(2)在其定義域上的導(dǎo)數(shù)是，對(duì)a分類討論，數(shù)形結(jié)合即可明確的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解：（1）在定義域上的導(dǎo)數(shù)為.

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是.

所以的最小值是.

（2）在其定義域上的導(dǎo)數(shù)是

①當(dāng)時(shí)，由（1）可得在上是增函數(shù)，此時(shí)由，可得函數(shù)有唯一的零點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，

并且對(duì)于負(fù)數(shù)，有

又因?yàn)?/span>，所以，即

所以在區(qū)間上存在負(fù)數(shù)，使得，則在上是增函數(shù)；在區(qū)間上是減函數(shù).則

.所以在上，有且僅有個(gè)零點(diǎn)；

在區(qū)間上，并且是增函數(shù).

所以存在正數(shù)，使得在上，是減函數(shù)；在上，是增函數(shù).于是有

所以在上，恰有唯一的零點(diǎn).

所以當(dāng)時(shí)，在上恰有三個(gè)不同的零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，有唯一的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有三個(gè)不同的零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，為矩形，是以為直角的等腰直角三角形，平面平面．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）為直線的中點(diǎn)，且，求二面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與抽象能力(指標(biāo))、推理能力(指標(biāo))、建模能力(指標(biāo))的相關(guān)性，將它們各自量化為1、2、3三個(gè)等級(jí)，再用綜合指標(biāo)的值評(píng)定學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為一級(jí)；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為二級(jí)；若，則數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為三級(jí)，為了了解某校學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，調(diào)查人員隨機(jī)訪問了某校10名學(xué)生，得到如下數(shù)據(jù)：

學(xué)生編號(hào)

(1)在這10名學(xué)生中任取兩人，求這兩人的建模能力指標(biāo)相同條件下綜合指標(biāo)值也相同的概率；

(2)在這10名學(xué)生中任取三人，其中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級(jí)是一級(jí)的學(xué)生人數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】一元線性同余方程組問題最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期（公元世紀(jì)）的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”問題，原文如下：有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，問物幾何？即，一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，求這個(gè)整數(shù).設(shè)這個(gè)整數(shù)為，當(dāng)時(shí)， 符合條件的共有_____個(gè)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，N為AD的中點(diǎn)．

（1）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；

（2）點(diǎn)M在線段PC上且滿足，直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，求實(shí)數(shù)的值．

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【題目】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，是等邊三角形.

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）設(shè)直線，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn) 異于點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，若.

(ⅰ)求的值；

(ⅱ)已知點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，若四邊形為平行四邊形，求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若對(duì)任意的，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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【題目】過點(diǎn)的橢圓的離心率為，橢圓與軸交于兩點(diǎn)、，過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn).

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)點(diǎn)異于點(diǎn)時(shí)，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在下列三個(gè)正方體中，均為所在棱的中點(diǎn)，過作正方體的截面．在各正方體中，直線與平面的位置關(guān)系描述正確的是

A. 平面的有且只有①；平面的有且只有②③

B. 平面的有且只有②；平面的有且只有①

C. .平面的有且只有①；平面的有且只有②

D. 平面的有且只有②；平面的有且只有③

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