Question

1．若實數(shù)x₁，x₂，y₁，y₂滿足${（2si{nx}_{1}{-y}_{1}）}^{2}$+${{（x}_{2}{-y}_{2}+\sqrt{3}）}^{2}$=0（0＜x₁＜π），則${{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}{+{（y}_{1}{-y}_{2}）}^{2}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{{π}^{2}}{18}$
• B． $\frac{{π}^{2}}{9}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{6}π$
• D． $\frac{π}{9}$

Answer 1

分析 化簡已知條件，得到兩個函數(shù)，利用函數(shù)的導數(shù)求出切線的斜率，利用平行線之間的距離求解即可．

解答 解：實數(shù)x₁，x₂，y₁，y₂滿足${（2si{nx}_{1}{-y}_{1}）}^{2}$+${{（x}_{2}{-y}_{2}+\sqrt{3}）}^{2}$=0（0＜x₁＜π），
可得y₁=2sinx₁，并且x₂-y₂+$\sqrt{3}$=0，（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值轉(zhuǎn)化為：函數(shù)y=2sinx圖象上的點與x-y+$\sqrt{3}$=0圖象上的點的距離的最小值，
由y=2sinx可得y′=2cosx．與直線x-y+$\sqrt{3}$=0平行的直線的斜率為1，所以2cosx=1，
因為0＜x＜π，所以解得x=$\frac{π}{3}$，
切點坐標（$\frac{π}{3}$，$\sqrt{3}$），與x-y+$\sqrt{3}$=0平行的直線為：y-$\sqrt{3}$=x-$\frac{π}{3}$，即x-y+$\sqrt{3}$-$\frac{π}{3}$=0
（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²的最小值為：$\frac{\frac{π}{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}π$．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)與方程的綜合應用，函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)的最值，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想．