Question

18．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a²+b²=c²+$\sqrt{3}$ab，c=1，若△ABC為銳角三角形，求△ABC周長的取值范圍．

Answer 1

分析 運(yùn)用余弦定理，可得C=$\frac{π}{6}$，由銳角三角形可得$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$，再由正弦定理，結(jié)合兩角和差的正弦公式，以及正弦函數(shù)的圖形和性質(zhì)，可得a+b的范圍，進(jìn)而得到周長的范圍．

解答 解：由a²+b²=c²+$\sqrt{3}$ab，可得
cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}ab}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有C=$\frac{π}{6}$，
A+B=$\frac{5π}{6}$，
由題意可得0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，
可得$\frac{π}{3}$＜A＜$\frac{π}{2}$，
由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{1}{sin\frac{π}{6}}$=2，
則a=2sinA，b=2sinB．
則有a+b=2（sinA+sin（$\frac{5π}{6}$-A））
=2（$\frac{3}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA）
=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$），
由$\frac{2π}{3}$＜A+$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$，可得
$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{3}$）≤1，
即有a+b∈（$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$]．
則△ABC周長的取值范圍是（1+$\sqrt{3}$，1+2$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評 本題考查正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查兩角和差的正弦公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．