Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率。它有一個頂點(diǎn)恰好是拋物線=4y的焦點(diǎn)。過該橢圓上任一點(diǎn)P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點(diǎn)C在QP的延長線上，且。
（Ⅰ）求動點(diǎn)C的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為A，B，直線AC（C點(diǎn)不同于A，B）與直線交于點(diǎn)R，D為線段RB的中點(diǎn)。試判斷直線CD與曲線E的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

（Ⅰ）動點(diǎn)的軌跡的方程為；（Ⅱ）直線與圓相切．

試題分析：（Ⅰ）求動點(diǎn)C的軌跡E的方程，由題意首先求出橢圓的方程為，設(shè)，，由已知，找出與之間的關(guān)系，利用點(diǎn)在橢圓上，代入即可求出動點(diǎn)C的軌跡E的方程；（Ⅱ）判斷直線CD與曲線E的位置關(guān)系，由（Ⅰ）動點(diǎn)的軌跡的方程為，主要看圓心到直線距離與半徑之間的關(guān)系，因此，主要找直線的方程，設(shè)，則，由題意三點(diǎn)共線，得 ∥，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用共線，求出，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而得點(diǎn)的坐標(biāo)為，這樣寫出直線的方程，利用點(diǎn)到直線位置關(guān)系，從而可判斷直線CD與曲線E的位置關(guān)系．
試題解析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為，則由題意知b = 1，，
∴，，所以橢圓的方程為。（2分）
設(shè)，，由題意得，即
又，代入得，即。
即動點(diǎn)的軌跡的方程為。（6分）
（Ⅱ）設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵三點(diǎn)共線，∴ ∥，
而，，則，∴，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴直線的斜率為，（9分）
而，∴，∴，
∴直線的方程為，化簡得，
∴圓心到直線的距離，
所以直線與圓相切。（13分）