Question

13．已知矩形ABCD中，AB=3，BC=1，M，N分別為包含端點的邊BC，CD上的動點，且滿足|$\overrightarrow{BM}$||$\overrightarrow{CD}$|=|$\overrightarrow{BC}$||$\overrightarrow{CN}$|，則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{MN}$的最小值是（　�。�

• A． -7
• B． -10
• C． -8
• D． -9

Answer 1

分析 根據條件，可分別以DC，CB所在直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，并設$|\overrightarrow{CN}|=x，0≤x≤3$，進而可求得$|\overrightarrow{BM}|=\frac{x}{3}$，從而可寫出M，N，A的坐標，從而求出向量$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{MN}$的坐標，進行數量積的坐標運算即可得出$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MN}=-\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{8x}{3}$，這樣配方即可求出該數量積的最小值．

解答 解：分別以DC，CB所在直線為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標系，設$|\overrightarrow{CN}|=x$，0≤x≤3；
∵$|\overrightarrow{BM}||\overrightarrow{CD}|=|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{CN}|$；
∴$3|\overrightarrow{BM}|=x$；
∴$|\overrightarrow{BM}|=\frac{x}{3}$；
∴得：$M（0，1-\frac{x}{3}），N（-x，0），A（-3，1）$；
∴$\overrightarrow{MN}=（-x，\frac{x}{3}-1），\overrightarrow{AM}=（3，-\frac{x}{3}）$；
∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MN}=-3x-\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{x}{3}$=$-\frac{1}{9}（x+12）^{2}+\frac{144}{9}$；
∵0≤x≤3；
∴x=3時，$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MN}$取得最小值-9．
故選D．

點評 考查通過建立坐標系，利用坐標解決向量問題的方法，能求平面上點的坐標，以及配方法求二次函數的最值，數量積的坐標運算．