Question

選做題：考生在下面兩小題中，任選一道作答，如果全做則按第1小題評分．
（1）《幾何證明選講》選做題
如圖，半徑分別為a和3a的圓O₁與圓O₂外切于T，自圓O₂上一點P引圓O₁的切線，切點為Q，若PQ=2a，則PT=    ．
（2）《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》選做題
從極點O作射線交直線ρcosθ=3于點M，P為線段OM上的點，且|OM|•|OP|=12，則P點軌跡的極坐標(biāo)方程為    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖根據(jù)自圓O₂上一點P引圓O₁的切線，切點為Q，得到PQ⊥QO₁，利用勾股定理得PO₁的長，再在三角形PO₁O₂中，由余弦定理得cos∠PO₁O₂，最后在三角形PO₁T中，再次利用余弦定理即可求出PT．
（2）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（ρ，θ），M的坐標(biāo)為（ρ，θ），則ρρ=12，由ρcosθ=3，得到ρ=4cosθ即為所求；
解答：解：（1）如圖，∵自圓O₂上一點P引圓O₁的切線，切點為Q，
∴PQ⊥QO₁，
∴PO₁==，
在三角形PO₁O₂中，由余弦定理得：
cos∠PO₁O₂==，
所以在三角形PO₁T中，
PT==a，
故答案為：a．
（2）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（ρ，θ），M的坐標(biāo)為（ρ，θ），
則ρρ=12．
∵ρcosθ=3，
∴ρ=4cosθ，即為所求的軌跡方程．
故答案為：ρ=4cosθ．
點評：（1）本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)、與圓有關(guān)的線段及解三角形的有關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．
（2）考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程和解決數(shù)學(xué)問題的能力，以及會求簡單軌跡的極坐標(biāo)方程．