Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是矩形，底面ABCD，P為BC邊的中點(diǎn)，SB與平面ABCD所成的角為，且，．

1求證：平面SAP；

2求二面角的余弦的大�。�

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)證明；(2)

【解析】

1欲證平面SAP，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證PD與平面SAP內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)題意可知是SB與平面ABCD所成的角，根據(jù)勾股定理可知，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，而滿足定理所需條件；

2設(shè)Q為AD的中點(diǎn)，連接PQ，根據(jù)，，則是二面角的平面角，在中，求出二面角的余弦即可．

1

證明：因?yàn)?/span>底面ABCD，

所以，是SB與平面ABCD所成的角

由已知，所以易求得，

又因?yàn)?/span>，所以，所以

因?yàn)?/span>底面ABCD，平面ABCD，

所以，

由于所以平面

2設(shè)Q為AD的中點(diǎn)，連接PQ，

由于底面ABCD，且平面SAD，

則平面平面

，平面SAD，平面SAD，．

過(guò)Q作，垂足為R，連接PR，則面QPR．

又面QPR，，是二面角的平面角

容易證明∽，則．

因?yàn)?/span>，，，

所以

在中，因?yàn)?/span>，，

所以

所以二面角的余弦為