【題目】已知橢圓C: 的上下焦點分別為F1 , F2 , 離心率為 ,P為C上動點,且滿足 |,△QF1F2面積的最大值為4. (Ⅰ)求Q點軌跡E的方程和橢圓C的方程;
(Ⅱ)直線y=kx+m(m>0)與橢圓C相切且與曲線E交于M,N兩點,求 的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)由橢圓定義得:|F2Q|=|F2P|+|PQ|=|F2P|+|PF1|=2a, 所以點Q的軌跡是以F2為圓心,2a為半徑的圓.
當QF2⊥F1F2時△QF1F2面積最大,所以 得:ac=2
又 可得a=2,c=1.
所以Q點軌跡E的方程x2+(y+1)2=16,橢圓C的方程
(Ⅱ)由 得(3k2+4)x2+6kmx+3m2﹣12=0△=36k2m2﹣4(3k2+4)(3m2﹣12)=0
化簡得:3k2﹣m2+4=0
所以,
由 及m>0得,m≥2
設(shè)圓心F2(0,﹣1)到直線MN的距離為d,則
所以,弦長
設(shè)點F1(0,1)到直線MN的距離為h,則
所以,
由m≥2,得:
所以, 的取值范圍為 .
【解析】(Ⅰ)由橢圓定義得:|F2Q|=|F2P|+|PQ|=|F2P|+|PF1|=2a,點Q的軌跡是以F2為圓心,2a為半徑的圓,當QF2⊥F1F2時△QF1F2面積最大,推出ac=2,結(jié)合離心率,然后求解橢圓方程即可.(Ⅱ)聯(lián)立 通過△=0,推出 求出m≥2,設(shè)圓心F2(0,﹣1)到直線MN的距離為d,求出弦長,設(shè)點F1(0,1)到直線MN的距離為h,求出三角形的面積的表達式,然后求解范圍即可.
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【題目】已知函數(shù)滿足.
(Ⅰ)當時,解不等式;
(Ⅱ)若關(guān)于x的方程的解集中有且只有一個元素,求a的值;
(Ⅲ)設(shè),若對,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1,求a的取值范圍.
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【題目】在平面幾何中,通常將完全覆蓋某平面圖形且直徑最小的圓,稱為該平面圖形的最小覆蓋圓.最小覆蓋圓滿足以下性質(zhì):①線段的最小覆蓋圓就是以為直徑的圓;②銳角的最小覆蓋圓就是其外接圓.已知曲線:,,,,為曲線上不同的四點.
(Ⅰ)求實數(shù)的值及的最小覆蓋圓的方程;
(Ⅱ)求四邊形的最小覆蓋圓的方程;
(Ⅲ)求曲線的最小覆蓋圓的方程.
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【題目】某校舉辦“中國詩詞大賽”活動,某班派出甲乙兩名選手同時參加比賽.大賽設(shè)有15個詩詞填空題,其中“唐詩”、“宋詞”和“毛澤東詩詞”各5個.每位選手從三類詩詞中各任選1個進行作答,3個全答對選手得3分,答對2個選手得2分,答對1個選手得1分,一個都沒答對選手得0分.已知“唐詩”、“宋詞”和“毛澤東詩詞”中甲能答對的題目個數(shù)依次為5,4,3,乙能答對的題目個數(shù)依此為4,5,4,假設(shè)每人各題答對與否互不影響,甲乙兩人答對與否也互不影響. 求:
(Ⅰ)甲乙兩人同時得到3分的概率;
(Ⅱ)甲乙兩人得分之和ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】在四面體ABCD中,若AB=CD= ,AC=BD=2,AD=BC= ,則直線AB與CD所成角的余弦值為( )
A.﹣
B.﹣
C.
D.
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【題目】已知函數(shù)(是自然對數(shù)的底數(shù))與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點,則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】如圖,三棱柱中,側(cè)面為菱形,的中點為,且平面.
(1)證明:;
(2)若,,,試畫出二面角的平面角,并求它的余弦值.
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【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若,解不等式;
(Ⅱ)設(shè)是函數(shù)的四個不同的零點,問是否存在實數(shù),使得其中三個零點成等差數(shù)列?若存在,求出所有的值;若不存在,說明理由.
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