Question

13．已知a是實(shí)數(shù)，記函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3在區(qū)間[-1，1]上的最小值為g（a），求g（a）的函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 a=0時(shí)，函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，求出g（a）即可，a≠0時(shí)，函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，通過(guò)討論a＞0，a＜0的情況，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，從而求出g（a）的表達(dá)式．

解答 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=2x-3，函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，f（x）的最小值是f（-1）=-5，
∴a=0時(shí)，g（a）=-5；
（2）a≠0時(shí)，函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸x=-$\frac{1}{2a}$，
①當(dāng)a＞0時(shí)，x=-$\frac{1}{2a}$＜0，
若-$\frac{1}{2a}$≤-1，即0＜a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在[-1，1]單調(diào)遞增，
∴g（a）=f（-1）=2a-5，
若-1＜-$\frac{1}{2a}$＜0，即a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在[-1，-$\frac{1}{2a}$）遞減，在（-$\frac{1}{2a}$，1]遞增，
∴g（a）=f（-$\frac{1}{2a}$）=-$\frac{1}{2a}$-3，
②當(dāng)a＜0時(shí)，x=-$\frac{1}{2a}$＞0，f（x）=2ax²+2x-3開(kāi)口向下，-1到對(duì)稱軸的距離大于1到對(duì)稱軸的距離，
故g（a）=f（-1）=2a-5，
綜上：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{2a-5，a≤\frac{1}{2}}\\{-\frac{1}{2a}-3，a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)，考查求函數(shù)的最值問(wèn)題，考查了分類討論思想，是一道中檔題．