Question

3．若x，y是正實(shí)數(shù)，且$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2y+1}=\frac{1}{3}$，則x²+4y²-26xy的最小值為-300．

Answer 1

分析 由條件可得y=$\frac{2x+5}{2x-4}$（x＞2），代入所求式，設(shè)為F（x），求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得極值，進(jìn)而得到最值．

解答 解：由$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2y+1}=\frac{1}{3}$，可得y=$\frac{2x+5}{2x-4}$（x＞2），
記F（x）=x²+4y²-26xy=x²+$\frac{（2x+5）^{2}}{（x-2）^{2}}$-$\frac{13x（2x+5）}{x-2}$，
F′（x）=2x+$\frac{2（2x+5）（-x-7）}{（x-2）^{3}}$-$\frac{26（x-5）（x+1）}{（x-2）^{2}}$，
由F′（x）=0，可得（x+1）（x-5）（x²-15x+35）=0，
解得x₁=-1（舍），x₂=$\frac{15-\sqrt{85}}{2}$≈2.89，x₃=5，x₄=$\frac{15+\sqrt{89}}{2}$≈12.11，
顯然F（x）在（2，x₂）上遞減，在（x₂，x₃）遞增，在（x₃，x₄）遞減，在（x₄，+∞）遞增，
故在x₂處取得極小值，在x₃處取得極大值，在x₄處取得極小值．
則F（x₂）=F（x₄）=-300．
則有x²+4y²-26xy的最小值為-300．
故答案為：-300．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最值的求法，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，屬于中檔題．