Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R.

(1)試判斷f(x)的奇偶性；

(2)若a＝0時(shí)，求f(x)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)為非奇非偶函數(shù)．（2）1

【解析】試題分析：（1）先確定定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再判斷f(－x)與f(x)關(guān)系，最后根據(jù)奇偶性定義確定奇偶性；（2）先研究x≥0時(shí)，函數(shù)最小值，再根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)求最值

試題解析：解：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1＝f(x)．

當(dāng)a≠0時(shí)，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，

此時(shí)f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(a)．

∴當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)為非奇非偶函數(shù)．

(2)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2＋|x|＋1為偶函數(shù)，

∴x≥0時(shí)，f(x)＝x2＋x＋1，

x＝0時(shí)，f(x)min＝1，

∴f(x)min＝1.

點(diǎn)睛: 判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系．

在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)關(guān)系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù))是否成立．