【題目】已知圓,直線, .

(1)求證:對,直線與圓總有兩個不同的交點;

(2)求弦的中點的軌跡方程,并說明其軌跡是什么曲線;

(3)是否存在實數(shù),使得原上有四點到直線的距離為?若存在,求出的范圍;若不存在,說明理由.

【答案】(1)見解析;(2)M的軌跡方程是,它是一個以為圓心,以為半徑的圓;(3).

【解析】【試題分析】(1)依據(jù)題設可以運用圓心與直線的距離或考慮動直線過定點分析判斷;(2)借助題設條件運用圓心與弦中點的連線與直線垂直建立方程求解;(3)依據(jù)題設借助圖形的直觀,運用圓心距與直線的位置和數(shù)量關系建立不等式:

(1)圓的圓心為,半徑為,所以圓心C到直線的距離

所以直線與圓C相交,即直線與圓總有兩個不同的交點;

或:直線的方程可化為,無論m怎么變化,直線過定點,由于,所以點是圓C內一點,故直線與圓總有兩個不同的交點.

(2)設中點為,因為直線恒過定點,

當直線的斜率存在時, ,又 ,

所以,化簡得

當直線的斜率不存在時,中點也滿足上述方程

所以M的軌跡方程是,它是一個以為圓心,以為半徑的圓

(3) 假設存在直線,使得圓上有四點到直線的距離為,由于圓心,半徑為則圓心到直線的距離為

化簡得,解得

練習冊系列答案
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