Question

【題目】（本題分）

已知函數(shù)，若存在，使得，則稱是函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)， 時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．

（Ⅱ）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（Ⅲ）在（）的條件下，若函數(shù)的圖象上， 兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，且直線是線段的垂直平分線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）實(shí)數(shù)的取值范圍是．

【解析】試題分析：Ⅰ）把， 代入方程f（x）=x，解出x即可；

（Ⅱ）方程f（x）=x恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即方程ax2+（b+1）x+b﹣2=x恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 對(duì)任意b恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得a的不等式；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)f（x）的兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)為x1，x2，則A（x1，x1），B（x2，x2），且x1，x2是ax2+bx+b﹣2=0的兩個(gè)不等實(shí)根，則，由題意可得k=﹣1，且AB中點(diǎn)在直線上，代入可得a，b的關(guān)系式，分離出b后根據(jù)a的范圍可得b的范圍；

試題解析：

（Ⅰ）當(dāng)， 時(shí)， ，

由得，解得或．

∴函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為， ．

（Ⅱ）∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，

∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)，方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

即方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴，即對(duì)任意實(shí)數(shù)， 恒成立，

∴，

解得．

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)為， ，

則， ，且， 是的兩個(gè)不等實(shí)根，

所以，直線的斜率為，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，

∵直線是線段的垂直平分線，

∴，且在直線上，

即， ，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

又∵，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．