Question

已知關于x的方程ax²-（2a-2）x+a+1=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求a的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)a，使此方程的兩個根的倒數(shù)和等于0？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由題意可得a≠0，且△＞0，解不等式可得；
（2）假設存在實數(shù)a滿足題意，則a≤

1

3

且a≠0，由題意和韋達定理可得a的方程，解方程驗證是否滿足a≤

1

3

且a≠0可得結論．

解答： 解：（1）∵關于x的一元二次方程ax²-（2a-2）x+a+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴a≠0，且△=（2a-2）²-4a（a+1）＞0，解得a＜

1

3

，
∴a的取值范圍為a＜

1

3

且a≠0；
（2）假設存在實數(shù)a滿足題意，則a≤

1

3

且a≠0，
設兩根為x₁，x₂，由韋達定理可得x₁+x₂=

2a-2

a

，x₁x₂=

a+1

a

，
若滿足

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=0，則

2a-2 a

a+1 a

=0，解得a=1，
這與a≤

1

3

且a≠0矛盾，故不存在這樣的實數(shù)a

點評：本題考查二次函數(shù)的零點，涉及韋達定理，屬基礎題．