正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中，有四個(gè)頂點(diǎn)恰好是正四面體的頂點(diǎn)，則正四面體的體積與正方體的體積之比是
1：3
1：3
．
分析：由題意可得該正四面體恰好以正方體的面對(duì)角線為棱，其體積為正方體的體積減掉4個(gè)相同的小三棱錐的體積，設(shè)出棱長可求．
解答：解：由題意可知該正四面體恰好以正方體的面對(duì)角線為棱，
故設(shè)正方體的棱長為a，則正四面體的棱長為
2
a，
而正方體的體積為a3，正四面體的體積為正方體的體積減掉4個(gè)相同的小三棱錐的體積，
故正四面體的體積為a3-4×
1
3
×
1
2
a2×a=
1
3
a3
故該正四面體的體積與正方體的體積之比為：
1
3
a3：a3=1：3
故答案為：1：3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積公式，得到正四面體恰好以正方體的面對(duì)角線為棱是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

12、從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇4個(gè)頂點(diǎn)，它們可能是如下幾種幾何體（或平面圖形）的4個(gè)頂點(diǎn)，這些幾何體（或平面圖形）是
①③④
（寫出所有正確的結(jié)論的編號(hào)）
①矩形；
②不是矩形的平行四邊形；
③有三個(gè)面為等腰直角三角形，有一個(gè)面為等邊三角形的四面體；
④每個(gè)面都是等邊三角形的四面體．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中，有四個(gè)點(diǎn)恰好為正四面體的頂點(diǎn)，則該正四面體的體積與正方體的體積之比為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)，則可以構(gòu)成四面體的概率是
29
35
29
35
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•鄭州三模）從正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中任取四個(gè)點(diǎn)連線，在能構(gòu)成的一對(duì)異面直線中，其所成的角的度數(shù)不可能是（　�。�

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