Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點A（2，3），且離心率e=

1

2

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在過點B（0，-4）的直線l交橢圓于不同的兩點M、N，且滿足

OM

•

ON

=

16

7

（其中點O為坐標(biāo)原點），若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

c a = 1 2 4 a2 + 9 b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+4，聯(lián)立

y=kx+4 x2 16 + y2 12 =1

，得（4k²+3）x²+32kx+16=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過點A（2，3），且離心率e=

1

2

，
∴

c a = 1 2 4 a2 + 9 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a=4，c=2，b=

16-4

=2

3

，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）設(shè)直線l的方程存在，若l的斜率不存在，則M（0，2

3

），N（0，-2

3

），
此時

OM

•

ON

=12，不成立．
若l的斜率k存在，則l的方程為y=kx+4，
聯(lián)立

y=kx+4 x2 16 + y2 12 =1

，得（4k²+3）x²+32kx+16=0，
△＞0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x1+x2=-

32k

4k2+3

，x1x2=

16

4k2+3

，
y₁y₂=（kx₁+4）（kx₂+4）=k²x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16，
∵

OM

•

ON

=

16

7

，
∴x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16
=

16k2+16

4k2+3

-

128k2

4k2+3

+16=

16

7

，
解得k²=1．
∴直線l的方程為y=±x+4．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量的數(shù)量積的合理運用．