Question

已知函數(shù)，其中且.
（1）討論的單調(diào)性；
(2) 若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)取值范圍；
（3）若方程存在兩個(gè)異號(hào)實(shí)根，，求證：

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）證明詳見解析.

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、計(jì)算能力.第一問，先求函數(shù)的定義域，對(duì)求導(dǎo)，由于，所以討論a的正負(fù)，利用的正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；第二問，結(jié)合第一問的結(jié)論，當(dāng)時(shí)舉一反例證明不恒成立，當(dāng)時(shí)，將恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值；第三問，要證，需證，令，利用函數(shù)的單調(diào)性，解出的大小.
(１)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051608224642.png" style="vertical-align:middle;" />.
其導(dǎo)數(shù)                   2分
①當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上是增函數(shù);
②當(dāng)時(shí),在區(qū)間上,;在區(qū)間(0,+∞)上,．
所以,在是增函數(shù),在(0,+∞)是減函數(shù).             4分
(２)當(dāng)時(shí), 則取適當(dāng)?shù)臄?shù)能使，比如取，
能使, 所以不合題意 6分
當(dāng)時(shí)，令,則
問題化為求恒成立時(shí)的取值范圍.
由于 
在區(qū)間上,;在區(qū)間上,.     8分
的最小值為,所以只需
即,,            10分
(３)由于存在兩個(gè)異號(hào)根，不仿設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051608942600.png" style="vertical-align:middle;" />,所以                                11分
構(gòu)造函數(shù):()


所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù). ,則,
于是,又,,由在上為減函數(shù)可知.即                 14分