Question

5．已知三條直線l₁：x+y+1=0，l₂：2x-y+8=0，l₃：ax+3y-5=0．分別求出下列各題中a的值：
（1）三條直線相交于一點；
（2）三條直線只有兩個交點；
（3）三條直線只有三個交點．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1=0}\\{2x-y+8=0}\end{array}\right.$，解得交點，代入l₃：ax+3y-5=0，解得a即可得出；
（2）三條直線分別化為：y=-x-1，y=2x+8，y=-$\frac{a}{3}x$+$\frac{5}{3}$．當l₃∥l₁或l₃∥l₂時，三條直線只有兩個交點；可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{3}=-1}\\{-1≠\frac{5}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{3}=2}\\{\frac{5}{3}≠8}\end{array}\right.$，解出即可．
（3）當直線l₃都與直線l₁，l₂相交且不相交于同一點時，三條直線只有三個交點．可得$-\frac{a}{3}≠$-1，且$-\frac{a}{3}$≠2，$a≠\frac{1}{3}$，解出即可．

解答 解：（1）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1=0}\\{2x-y+8=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=2}\end{array}\right.$，代入l₃：ax+3y-5=0，可得-3a+3×2-5=0，解得a=$\frac{1}{3}$．
∴當a=$\frac{1}{3}$時，三條直線相交于一點；
（2）三條直線分別化為：y=-x-1，y=2x+8，y=-$\frac{a}{3}x$+$\frac{5}{3}$．
當l₃∥l₁或l₃∥l₂時，三條直線只有兩個交點；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{3}=-1}\\{-1≠\frac{5}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{3}=2}\\{\frac{5}{3}≠8}\end{array}\right.$，
解得a=3，或a=-6．
∴a=3，或a=-6，三條直線只有兩個交點．
（3）當直線l₃都與直線l₁，l₂相交且不相交于同一點時，三條直線只有三個交點．
∴$-\frac{a}{3}≠$-1，且$-\frac{a}{3}$≠2，$a≠\frac{1}{3}$
即a≠3且a≠-6，a≠$\frac{1}{3}$．
∴a≠3且a≠-6，a≠$\frac{1}{3}$，三條直線只有三個交點．

點評 本題考查了直線的位置關(guān)系與斜率截距的關(guān)系、分類討論，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．