Question

設(shè)a_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（n∈N^*），是否存在一次函數(shù)g（x），使得a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=g（n）（a_n-1）對n≥2的一切自然數(shù)都成立，并試用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：假設(shè)存在一次函數(shù)g（x）=kx+b（k≠0），依題意可求得k=1，b=0，故猜想：g（x）=x；然后用數(shù)學(xué)歸納法加以證明即可．

解答： 解：假設(shè)存在一次函數(shù)g（x）=kx+b（k≠0），使得a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=g（n）（a_n-1）對n≥2的一切自然數(shù)都成立，
則當(dāng)n=2時(shí)有，a₁=g（2）（a₂-1），又∵a1=1，a2=1+

1

2

，∴g（2）=2即2k+b=2…①．
當(dāng)n=3時(shí)有，a₁+a₂=g（3）（a₃-1），又∵a1=1，a2=1+

1

2

，a2=1+

1

2

+

1

3

，∴g（3）=3，即3k+b=3…②，
由①②可得k=1，b=0，
所以猜想：g（x）=x，…（5分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：
（1）當(dāng)n=2時(shí)，已經(jīng)得到證明；…（6分）
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2，k∈N）時(shí)，結(jié)論成立，即存在g（k）=k，使得a₁+a₂+a₃+…+a_k-1=g（k）（a_k-1）對k≥2的一切自然數(shù)都成立，則
當(dāng)n=k+1時(shí)，a₁+a₂+a₃+…+a_k=（a₁+a₂+a₃+…+a_k-1）+a_k=k（a_k-1）+a_k=（k+1）a_k-k，…（8分）
又∵ak+1=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

=ak+

1

k+1

，
∴a_k=a_k+1-

1

k+1

，
∴a1+a2+a3+…+ak=(k+1)(ak+1-

1

k+1

)-k=(k+1)(ak+1-1)，
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立．…（11分）
由（1）（2）知，對一切n，（n≥2，n∈N^*）有g(shù)（n）=n，使得a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=g（n）（a_n-1）都成立．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式及數(shù)學(xué)歸納法，著重考查推理與論證能力，屬于中檔題．