Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA₁=2．以AB，BC為鄰邊作平行四邊形ABCD，連接DA₁和DC₁．
（Ⅰ）求證：A₁D∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求直線CC₁與平面DA₁C₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）線段BC上是否存在點F，使平面DA₁C₁與平面A₁C₁F垂直？若存在，求出BF的長；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）用線面平行的判定定理；（Ⅱ）用向量解決線面角；（Ⅲ）向量解決垂直問題．

解答： （本小題共14分）
解：
（Ⅰ）連結B₁C，∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁∴中A₁B₁∥AB且A₁B₁=AB，
由平行四邊形ABCD得CD∥AB且CD=AB
∴A₁B₁∥CD且A₁B₁=CD------------------（1分）
∴四邊形A₁B₁CD為平行四邊形，A₁D∥B₁C------------------（2分）
∵B₁C?平面BCC₁B₁，A₁D?平面BCC₁B₁------------------（3分）
∴A₁D∥平面BCC₁B₁------------------（4分）

（Ⅱ）由∠ACB=90°，四邊形ABCD為平行四邊形得AC⊥AD，AA₁⊥底面ABC
如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A-xyz，則C（0，1，0）D（1，0，0），
A₁（0，0，2），C₁（01，2），------------------（1分）
∴

CC1

=（0，0，2），

A1D

=（1，0，-2），

A1C1

=（0，1，0）
設平面DA₁C₁的法向量為

m

=（x，y，z），則

m • A1D =0 m • A1C1 =0

即

x-2z=0 y=0

，令z=1，則y=0，x=2
∴∴

m

=（2，0，1）------------------（3分）
∴sinθ=

|  CC1 • m      |

| CC1|•| m|

=

2

2× 5

=

5

5

∴直線CC₁與平面DA₁C₁所成角的正弦值為

5

5

------------------（5分）
（Ⅲ）設

F

（λ，1，0），-1≤λ≤0，則

C1F

=（λ，0，-2）------------------（1分）
設平面A₁C₁F的法向量為

m

=（x₁，y₁，z₁），則

A1C1 • m =0 C1F • m =0

，即

y1=0 λx1-2z1=0

令x₁=1，則y₁=0，z1=

λ

2

，所以

m

=(1，0，

λ

2

)------------------（3分）
由（Ⅱ）知：平面DA₁C₁的法向量為

m

=（2，0，1）
假設平面DA₁C₁與平面A₁C₁F垂直，則

n

•

m

=0，解得，λ=-4＜-1
∴線段BC上不存在點F，使平面DA₁C₁與平面A₁C₁F垂直．------------------（5分）

點評：本題考查線面平行的判定及用向量解決空間角、垂直問題，綜合性較強．