Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過點(diǎn)P（-1，0），Q（0，

3

），圓C_n：（x-a_n）²+（y-b_n）²=r_n²（0≤a₁＜a₂＜a₃＜…）與x軸和直線l均相切，在x軸上的切點(diǎn)為A_n（n=1，2，3…），且相鄰兩圓都外切．
（1）求直線l的方程；
（2）若a₁=0，求圓C₁的方程；
（3）若a₁=0，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計算題,直線與圓

分析：（1）由直線的截距式方程，即可求出直線l的方程；
（2）由于圓C₁與x軸和直線l均相切，由d=r，即可求出b₁，r₁，從而得到圓C₁的方程；
（3）由于圓C_n-1和圓C_n相切和x軸、直線l均相切，得到兩圓的方程，由相切的條件，列出方程，
消去a_n，a_n-1，得到b_n=3b_n-1，求出b_n的通項(xiàng)，從而得到a_n的通項(xiàng)．

解答： 解：（1）由直線的截距式方程，得

x

-1

+

y

3

=1，即直線l的方程為

3

x-y+

3

=0；
（2）若a₁=0，則圓C₁：x²+（y-b₁）²=r₁²
由于圓C₁與x軸和直線l均相切，則b₁=r₁，

3 -b1

2

=r1，解得b₁=r₁=

3

3

，
故圓C₁：x²+（y-

3

3

）²=

1

3

；
（3）由于圓C_n-1和圓C_n相切和x軸、直線l均相切，則圓C_n-1：（x-a_n-1）²+（y-b_n-1）²=b_n-1²，
圓C_n：（x-a_n）²+（y-b_n）²=b_n²，
∴

3 an-bn+ 3

2

=bn，

3 an-1-bn-1+ 3

2

=bn-1
相減得，a_n-a_n-1=

3

（b_n-b_n-1），
又（a_n-a_n-1）²+（b_n-b_n-1）²=（b_n+b_n-1）²，
∴2（b_n-b_n-1）=b_n+b_n-1，即有b_n=3b_n-1，
∴b_n=b₁•3^n-1=

3

3

•3^n-1，
∴a_n=

3

b_n-1=3^n-1-1．

點(diǎn)評：本題主要考查直線方程與圓的方程及其應(yīng)用，考查直線與圓相切的條件和圓與圓相切的條件，同時考查等比數(shù)列的通項(xiàng)及運(yùn)用，是一道中檔題．