【題目】在平面直角坐標系中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),以平面直角坐標系的原點O為極點,x軸正半軸為極軸,建立坐標系.
(1)求曲線C的極坐標方程;
(2)直線l與曲線C相交于M,N兩點,若,求的值.
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【題目】動點在橢圓上,過點作軸的垂線,垂足為,點滿足,已知點的軌跡是過點的圓.
(1)求橢圓的方程;
(2)設直線與橢圓交于,兩點(,在軸的同側),,為橢圓的左、右焦點,若,求四邊形面積的最大值.
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【題目】如圖,斜率為的直線交拋物線于兩點,已知點的橫坐標比點的橫坐標大4,直線交線段于點,交拋物線于點.
(1)若點的橫坐標等于0,求的值;
(2)求的最大值.
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【題目】在直角坐標系中,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以為極點,軸的非負半軸為極軸建極坐標系,直線的極坐標方程為
(Ⅰ)求的極坐標方程;
(Ⅱ)射線與圓C的交點為與直線的交點為,求的范圍.
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【題目】已知下列兩個命題,命題甲:平面α與平面β相交;命題乙:相交直線l,m都在平面α內,并且都不在平面β內,直線l,m中至少有一條與平面β相交.則甲是乙的( )
A.充分且必要條件B.充分而不必要條件
C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件
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【題目】已知數(shù)列的各項均為正數(shù),其前n項的積為,記,.
(1)若數(shù)列為等比數(shù)列,數(shù)列為等差數(shù)列,求數(shù)列的公比.
(2)若,,且
①求數(shù)列的通項公式.
②記,那么數(shù)列中是否存在兩項,(s,t均為正偶數(shù),且),使得數(shù)列,,,成等差數(shù)列?若存在,求s,t的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】為了提升學生“數(shù)學建模”的核心素養(yǎng),某校數(shù)學興趣活動小組指導老師給學生布置了一項探究任務:如圖,有一張邊長為27cm的等邊三角形紙片ABC,從中裁出等邊三角形紙片作為底面,從剩余梯形中裁出三個全等的矩形作為側面,圍成一個無蓋的三棱柱(不計損耗).
(1)若三棱柱的側面積等于底面積,求此三棱柱的底面邊長;
(2)當三棱柱的底面邊長為何值時,三棱柱的體積最大?
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【題目】隨著智能手機的普及,手機計步軟件迅速流行開來,這類軟件能自動記載每個人每日健步的步數(shù),從而為科學健身提供一定的幫助.某市工會為了解該市市民每日健步走的情況,從本市市民中隨機抽取了2000名市民(其中不超過40歲的市民恰好有1000名),利用手機計步軟件統(tǒng)計了他們某天健步的步數(shù),并將樣本數(shù)據(jù)分為,,,,,,,,九組(單位:千步),將抽取的不超過40歲的市民的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖如右,將40歲以上的市民的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻數(shù)分布表如下,并利用該樣本的頻率分布估計總體的概率分布.
分組 (單位:千步) | |||||||||
頻數(shù) | 10 | 20 | 20 | 30 | 400 | 200 | 200 | 100 | 20 |
(1)現(xiàn)規(guī)定,日健步步數(shù)不低于13000步的為“健步達人”,填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有%的把握認為是否為“健步達人”與年齡有關;
健步達人 | 非健步達人 | 總計 | |
40歲以上的市民 | |||
不超過40歲的市民 | |||
總計 |
(2)(。├脴颖酒骄鶖(shù)和中位數(shù)估計該市不超過40歲的市民日健步步數(shù)(單位:千步)的平均數(shù)和中位數(shù);
(ⅱ)由頻率分布直方圖可以認為,不超過40歲的市民日健步步數(shù)(單位:千步)近似地服從正態(tài)分布,其中近似為樣本平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值),的值已求出約為.現(xiàn)從該市不超過40歲的市民中隨機抽取5人,記其中日健步步數(shù)位于的人數(shù)為,求的數(shù)學期望.
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
若,則,.
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