Question

已知a為常數(shù)，函數(shù)f（x）=x（lnx-ax）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂（x₁＜x₂）（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先求出f^′（x），令f^′（x）=0，由題意可得lnx=2ax-1有兩個(gè)解x₁，x₂?函數(shù)g（x）=lnx+1-2ax有且只有兩個(gè)零點(diǎn)?g^′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系即可得出．
解答：解：∵=lnx+1-2ax，（x＞0）
令f^′（x）=0，由題意可得lnx=2ax-1有兩個(gè)解x₁，x₂?函數(shù)g（x）=lnx+1-2ax有且只有兩個(gè)零點(diǎn)?g^′（x）在（0，+∞）上的唯一的極值不等于0．
．
①當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，f^′（x）單調(diào)遞增，因此g（x）=f^′（x）至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，應(yīng)舍去．
②當(dāng)a＞0時(shí)，令g^′（x）=0，解得x=，
∵x，g^′（x）＞0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；時(shí)，g^′（x）＜0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴x=是函數(shù)g（x）的極大值點(diǎn)，則＞0，即＞0，∴l(xiāng)n（2a）＜0，∴0＜2a＜1，即．
∵，f^′（x₁）=lnx₁+1-2ax₁=0，f^′（x₂）=lnx₂+1-2ax₂=0．
且f（x₁）=x₁（lnx₁-ax₁）=x₁（2ax₁-1-ax₁）=x₁（ax₁-1）=-＜0，
f（x₂）=x₂（lnx₂-ax₂）=x₂（ax₂-1）＞=-．（）．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的方法是解題的關(guān)鍵．