Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S₃≤6，S₄≥8，S₆≤20，當(dāng)a₄取得最大值時(shí)，數(shù)列{a_n}的公差為（　�。�

• A、4
• B、

  4

  3

• C、

  8

  9

• D、

  34

  9

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,等差數(shù)列

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)公差為d，由S₃≤6，S₄≥8，S₅≤20，得到關(guān)于a₄和d的不等式，聯(lián)立解得d的范圍，對(duì)d分類討論求得a₄的最大值，求出此時(shí)d的值即可得答案．

解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
則S₃=a₁+a₂+a₃=3a₄-6d≤6，∴a₄≤2d+2
S₄=S₃+a₄=4a₄-6d≥8，有

3

2

d+2≤a₄≤2d+2，解得d≥0．
S₅=S₄+a₄+d=5a₄-5d≤20
a₄≤d+4，有

3

2

d+2≤a₄≤d+4，解得d≤4
∴0≤d≤4．
a₄≤min{2d+2，d+4}
0≤d≤2時(shí)，2d+2≤d+4，此時(shí)a₄≤2d+2≤2×2+2=6 
2≤d≤4時(shí)，d+4≤2d+2，此時(shí)a₄≤d+4≤4+4=8   
a₄的最大值為8，此時(shí)公差d=4．
a₄=8，d=4．
a₁=-4，a₂=0，a₃=4，a₄=8，a₅=12
此時(shí)S₃=0，S₄=8，S₅=20，滿足條件．
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的求和公式，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，涉及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．