Question

16．已知定義在R上的函數(shù)f（x），對于任意實數(shù)x，y都滿足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（1）≠0，當(dāng)x＞0時，f（x）＞1
（1）求f（0）的值；
（2）證明f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，即可求f（0）的值；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，結(jié)合抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行證明即可．

解答 （1）解：對于任意實數(shù)x，y都滿足f（x+y）=f（x）•f（y），
令x=1，y=0，則f（1）=f（1）f（0），
∵f（1）≠0，∴f（0）=1．
（2）證明：當(dāng)x＜0，則-x＞0，
則f（x）•f（-x）=f（x-x）=f（0）=1，
則f（-x）＞0，則f（x）＞0，
即f（x）＞0恒成立
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₂＜x₁，則x₁-x₂＞0，
∴f（x₁-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}＞1$，
∵對任意的x，y∈R，總有f（x）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即f（x）在R上為增函數(shù)．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及函數(shù)最值的求解，根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系，利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法，