Question

已知F是拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，點M（4，2），P是拋物線上的任意一點，|PM|+|PF|的最小值為5．
（1）求該拋物線的方程；
（2）設過點F，斜率為1的直線與拋物線交于A、B兩點，當|PM|+|PF|取得最小值時，求：
①△PAB的面積；
②△AOB（O是坐標原點）外接圓的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由已知條件得4+

p

2

=5，由此能求出拋物線的方程．
（2）①當|PM|+|PF|取得最小值時，點P為過M點且垂直于準線的直線與拋物線的交點，從而P（1，2），過點F（1，0）斜率為1的直線方程為y=x-1，由

y2=4x y=x-1

，得x²-6x+1=0，由此橢圓弦長公式和點到直線的距離公式能求出△PAB的面積．
②解方程x²-6x+1=0，得A（3+2

2

，2+2

2

），B（3-2

2

，2-2

2

），從而AB有中垂線的方程為x+y-5=0，OA的中垂線方程為：y-（1+

2

）=（-

1

2

-

2

2

）（x-

3

2

-

2

），由此能示出△AOB外接圓方程．

解答： 解：（1）∵拋物線上的點到焦點距離=到準線的距離，
∴|PM|+|PF|=|PM|+P到準線的距離
≤M到到準線的距離
=4+

p

2

=5，
解得p=2，∴拋物線的方程y²=4x．
（2）①當|PM|+|PF|取得最小值時，
點P為過M點且垂直于準線的直線與拋物線的交點，
∴P（x_P，2），∴2²=4x_P，解得x_P=1，
∴P（1，2），
過點F（1，0）斜率為1的直線方程為y=x-1，
由

y2=4x y=x-1

，得x²-6x+1=0，
△=36-4=32＞0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
∴|AB|=

(1+1)(36-4)

=8，
點P（1，2）到直線AB：y=x-1的距離d=

|1-2-1|

2

=

2

，
∴△PAB的面積S_△PAB=

1

2

×

2

×8=4

2

．
②解方程x²-6x+1=0，得x1=3+2

2

，x₂=3-2

2

，
∴A（3+2

2

，2+2

2

），B（3-2

2

，2-2

2

），
∴AB的中點坐標為（3，2），
k_AB=

4 2

4 2

=1，∴AB有中垂線的方程為：y-2=-（x-3），即x+y-5=0．①
OA有中點（

3

2

+

2

，1+

2

），k_OA=

1+ 2

3 2 + 2

=2

2

-2，
∴OA的中垂線方程為：y-（1+

2

）=（-

1

2

-

2

2

）（x-

3

2

-

2

），②
聯(lián)立①②得△AOB外接圓圓心為：（

7+8 2

2

，

3-8 2

2

），
外接圓半徑r=

( 7+8 2 2 -3-2 2 )2+( 3-8 2 2 -2-2 2 )2

=

161+16 2 2

，
∴△AOB（O是坐標原點）外接圓的方程：
（x-

7+8 2

2

）²+（y-

3-8 2

2

）²=

161+16 2

2

．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查三角形面積的求法，考查三角形外接圓方程的求法，解題時要認真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．