Question

【題目】設(shè)是的十進(jìn)制寫法中最后一個(gè)非零數(shù)字．證明：0·…是無(wú)理數(shù)．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設(shè)是有理數(shù)．則存在、，使得對(duì)每個(gè)，均有．

首先證明：存在，，且的最后一個(gè)非零數(shù)字為1．

事實(shí)上，設(shè)，其中，、，不被2與5整除．

則的最后一個(gè)非零數(shù)字為奇數(shù)，且不等于5．

若其等于1，則取；若其等于3，則取；

若其等于7，則取；若其等于9，則取．

在以上情形下，的最后一位非零數(shù)字分別與1、21、21、81的相同．

這樣就求出了當(dāng)時(shí)使得的數(shù)．

其次證明：對(duì)任意的，．

事實(shí)上，記表示不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)．

則在的素因子分解式中，2的冪指數(shù)為，

5的冪指數(shù)為．

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，，且，

其中，，不被2與5整除．從而，其最后一位非零數(shù)字與的相同．

于是，不等于5，即最后取充分大的，使得．

記．則．

故．

因此，．

因?yàn)?/span>，所以，．

從而，．

故

，

即與的最后一位數(shù)字相同．

另一方面，，但是，因?yàn)?/span>，所以，的最后一位數(shù)字不等于．

從而，，矛盾．